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滴水水龙头中的滴水喷射过渡


Bala Ambravaneswaran、Hariprasad J. Subramani、Scott D. Phillips 和 Osman A. Basaran*
普渡大学化学工程学院，美国印第安纳州西拉斐特 47907


（2003 年 12 月 20 日接收;2004 年 7 月 15 日发布）

 抽象


众所周知，当水从水龙头滴落的流速 Q Q QQ 发生变化时，会产生迷人的动力学。从简单的 （period-1） 滴落开始，系统随着 Q Q QQ 增加而过渡到复杂的滴落，在那里它表现出周期 n ( n = 2 , 4 , … ) n ( n = 2 , 4 , … ) n(n=2,4,dots)n(n=2,4, \ldots) 和混沌响应，然后射流一旦 Q Q QQ 超过阈值。新的实验和模拟表明，高粘度 （ μ μ mu\mu ） 液体，例如糖浆，随着 Q Q QQ 增加，直接从简单的滴落转变为喷射。开发了显示太空中 ( Q , μ ) ( Q , μ ) (Q,mu)(Q, \mu) 简单和复杂滴落和喷射之间过渡的相图。 Q Q QQ 从滴落到喷射的过渡值是根据缩放参数估计的，并显示出与模拟非常吻合。


DOI： 10.1103/PhysRevLett.93.034501

PACS 编号：47.55.Dz、47.20.Ky、47.52.+j

从漏水的水龙头滴水 [1]、墨水从喷墨喷嘴喷出 [2]、DNA 微阵列沉积在生物芯片上 [3] 和微胶囊化 [4] 是涉及液滴形成的常见情况 [5]。在每种情况下，喷嘴都会按顺序形成许多液滴，普通漏水水龙头大约每秒一滴，多功能喷墨打印机每秒数千滴。图 1 示意性地显示了 Q Q QQ 当粘度的牛顿液体 μ μ mu\mu （例如水）以恒定流速从半径 R R RR 管流入空气时，动力学随流速的增加而演变。对于小 Q Q QQ 的初级液滴以及更小的卫星，它们会定期形成，如图1（a）所示[6-8]。在临界值 Q Q QQ 处，卫星停止形成，简单的周期 1 滴落随之而来，其中每一滴都是相同的，如图 1（b） 所示。随着 Q Q QQ 时间的进一步增加，简单的滴落让位于复杂的滴落，其中观察到 [ 1 , 9 ] [ 1 , 9 ] [1,9][1,9] 非线性动力学现象，如周期加倍、混沌和滞后。对于足够大的值 Q Q QQ ，滴落让位于喷射，其中液滴从管出口下游远处的长液体柱的末端分离，如图 1© 所示 [ 9 , 10 ] [ 9 , 10 ] [9,10][9,10] 。这封信的目的是回答长期存在的问题，即如果使用糖浆等高粘度液体代替水，水龙头的响应将如何变化，以及微 μ μ mu\mu 小的变化是否会导致水龙头响应的较大变化。

自从 Shaw [1] 开创了对漏水水龙头二十年的研究以来，实验、理论和计算一直被用来深入了解滴水。迄今为止，已经使用了两种实验方法。其中一项研究侧重于测量液滴之间的时间间隔， t 1 , t 2 , … , t i , … t 1 , t 2 , … , t i , … t_(1),t_(2),dots,t_(i),dotst_{1}, t_{2}, \ldots, t_{i}, \ldots 其中 t i t i t_(i)t_{i} 是 i i ii 第 th 次和 ( i − 1 ) ( i − 1 ) (i-1)(i-1) 第 th 次 drops 之间的时间间隔 [1,9]。然后通过时间返回映射检查时间间隔数据，其中映射中的每个点都由某些 n n nn 的有序对 ( t n , t n + 1 ) t n , t n + 1 (t_(n),t_(n+1))\left(t_{n}, t_{n+1}\right) 确定，以推断系统的非线性响应 [1,9,11,12]。另一种实验方法，通常使用

除了液滴计数外，还利用高速成像来捕获许多液滴按顺序形成的动态 [9,12]。作为对该领域早期实验工作的补充，一些工作人员使用基于弹簧质量模型的简单理论来推测水龙头的响应[1,13,14]。最近，研究人员开始使用计算方法来预测数百滴序列的形成。这些[8,9]依赖于求解Eggers和Dupont[15]开发的Navier-Stokes（NS）方程的一维（1D）、细长喷流近似值或类似的一维近似值[11,14]。由于数值求解 NS 方程所需的时间比求解一维模型方程长约 100 倍，因此迄今为止，前一种方法尚未用于计算形成几个液滴以外的动力学 [7,16\u201217]。

除了探索从给定管 Q Q QQ 中发出的特定液体发生的非线性动力学现象的范围之外，一些论文还解决了同样重要的问题，即确定各种液体在不同流态之间发生转变的条件，尽管只是部分地

图 1.液滴形成机制。（a） 有卫星形成的滴落，（b） 没有卫星形成的滴落，以及©喷射。流速从左到右增加。

不同的属性。例如，Ambravaneswaran等[8]已经确定了 Q , Q c Q , Q c Q,Q_(c)Q, Q_{c} 的临界值随粘度的变化，超过该临界值后，卫星就不再形成。张 [7] 在小 μ μ mu\mu 的极限 中确定了 Q c Q c Q_(c)Q_{c} 。从滴落到喷射的转变已经研究了一个多世纪，不幸的是，在对非线性动力学有很好的理解之前，当液体滴在空气中形成 [18] 和另一种液体 [19] 时。最近，Clanet 和 Lasheras [10] 开发了一种 Q c Q c Q_(c)Q_{c} in inviscocid 极限的解析表达式。因此，这封信的一个主要目标是开发相图，以显示太空中 ( Q , μ ) ( Q , μ ) (Q,mu)(Q, \mu) 简单和复杂的滴落和喷射之间的过渡。值得注意的是，仍然缺乏喷射发生的定量标准。许多作者使用定性标准来决定液体何时不再滴落而是喷射。例如，Clanet 和 Lasheras [10] 采用了一种特殊的约定，即液体喷射的时间 L d ≈ 20 R L d ≈ 20 R L_(d)~~20 RL_{d} \approx 20 R 是 ，其中 L d L d L_(d)L_{d} 是极限长度或破裂时的液滴长度 [参见图 1（b）]。不幸的是，这个标准对于高粘度液体来说是失败的，因为即使 Q → 0 [ 6 , 8 ] Q → 0 [ 6 , 8 ] Q rarr0[6,8]Q \rightarrow 0[6,8] ，它们的 L d L d L_(d)L_{d} 也可能是 O ( 100 R ) O ( 100 R ) O(100 R)\mathcal{O}(100 R) 或更大的。本信还制定了确定喷射点发发生的定量标准。

在这里，通过计算和实验分析了漏水龙头的动力学。这些计算依赖于求解一维细长射流方程，该方程是外半径 R R RR 和壁厚可忽略不计的管子形成的不可压缩牛顿液体液滴的形状，以及液滴内的轴向速度
∂ v z ∂ t = − v z ∂ v z ∂ z − ∂ ( 2 H ) ∂ z + 3 O h 1 h 2 ∂ ∂ z ( h 2 ∂ v z ∂ z ) + G ∂ h ∂ t = − v z ∂ h ∂ z − 1 2 h ∂ v z ∂ z ∂ v z ∂ t = − v z ∂ v z ∂ z − ∂ ( 2 H ) ∂ z + 3 O h 1 h 2 ∂ ∂ z h 2 ∂ v z ∂ z + G ∂ h ∂ t = − v z ∂ h ∂ z − 1 2 h ∂ v z ∂ z {:[(delv_(z))/(del t)=-v_(z)(delv_(z))/(del z)-(del(2H))/(del z)+3Oh(1)/(h^(2))(del)/(del z)(h^(2)(delv_(z))/(del z))+G],[(del h)/(del t)=-v_(z)(del h)/(del z)-(1)/(2)h(delv_(z))/(del z)]:}\begin{gathered} \frac{\partial v_{z}}{\partial t}=-v_{z} \frac{\partial v_{z}}{\partial z}-\frac{\partial(2 \mathcal{H})}{\partial z}+3 O h \frac{1}{h^{2}} \frac{\partial}{\partial z}\left(h^{2} \frac{\partial v_{z}}{\partial z}\right)+G \\ \frac{\partial h}{\partial t}=-v_{z} \frac{\partial h}{\partial z}-\frac{1}{2} h \frac{\partial v_{z}}{\partial z} \end{gathered}

其中 t t tt 是时间， h ( z , t ) h ( z , t ) h(z,t)h(z, t) 是距离管出口一定距离 z z zz 处的液滴半径， v z ( z , t ) v z ( z , t ) v_(z)(z,t)\boldsymbol{v}_{z}(z, t) 是轴向速度， H H H\mathcal{H} 是平均曲率。方程 （1） 和 （2） 已经是无量纲的，因为长度以 为单位 R R RR 测量，时间以 为单位 ρ R 3 / σ ρ R 3 / σ sqrt(rhoR^(3)//sigma)\sqrt{\rho R^{3} / \sigma} 测量，其中 ρ ρ rho\rho 是密度， σ σ sigma\sigma 是表面张力。三个无量纲的组控制动态。其中两个，即 Ohnesorge 数 Oh 和 Bond 数 G G GG ，出现在方程 （1） 中，第三个是 Weber 数 We，当在一维公式中的管出口处施加塞流速曲线时出现 [8]。这些组定义为 Oh ≡ Oh ≡ Oh-=\mathrm{Oh} \equiv μ / ρ R σ ¯ , G ≡ ρ R 2 g / σ μ / ρ R σ ¯ , G ≡ ρ R 2 g / σ mu//sqrt(rho R bar(sigma)),G-=rhoR^(2)g//sigma\mu / \sqrt{\rho R \bar{\sigma}}, G \equiv \rho R^{2} g / \sigma ，其中 g g gg 是重力加速度，而 We ≡ ρ U 2 R / σ We ≡ ρ U 2 R / σ We-=rhoU^(2)R//sigma\mathrm{We} \equiv \rho U^{2} R / \sigma ，其中 U ≡ Q / π R 2 U ≡ Q / π R 2 U-=Q//piR^(2)U \equiv Q / \pi R^{2} 。方程 （1） 和 （2） 根据边界条件求解，其中 （i） 在 z = 0 , h = 1 z = 0 , h = 1 z=0,h=1z=0, h=1 和 v z = We v z = We v_(z)=sqrtWev_{z}=\sqrt{\mathrm{We}} ，以及 （ii） 在 z = L ( t ) z = L ( t ) z=L(t)z=L(t) ，其中 L ( t ) L ( t ) L(t)L(t) 是液滴的瞬时长度， h = 0 h = 0 h=0h=0 以及 v z = d L / d t v z = d L / d t v_(z)=dL//dtv_{z}=d L / d t 。初始条件是静态悬垂半球形水滴，即 h = 1 − z 2 h = 1 − z 2 h=sqrt(1-z^(2))h=\sqrt{1-z^{2}} 和

v z = 0 v z = 0 v_(z)=0v_{z}=0 对于 0 ≤ z ≤ 1 0 ≤ z ≤ 1 0 <= z <= 10 \leq z \leq 1 .方程系统。（1） 和 （2） 使用有限元法 [8] 求解。

在实验中，液体由 Sage MP362 注射泵以恒定流速驱动通过管道。采用高速 Kodak Ektapro 成像仪来可视化动态。实验中使用的液体包括水、不同浓度甘油的甘油-水混合物和硅油。通过改变液滴液体、管半径和流速，可以访问以下无量纲组范围： 3 × 10 − 3 ≤ 3 × 10 − 3 ≤ 3xx10^(-3) <=3 \times 10^{-3} \leq Oh ≤ 2 , 0.31 ≤ G ≤ 0.97 Oh ≤ 2 , 0.31 ≤ G ≤ 0.97 Oh <= 2,0.31 <= G <= 0.97\mathrm{Oh} \leq 2,0.31 \leq G \leq 0.97 和 0 ≤ We ≤ O ( 1 ) 0 ≤ We ≤ O ( 1 ) 0 <= We <= O(1)0 \leq \mathrm{We} \leq \mathcal{O}(1) 。

随着 We 的增加而出现的两个总流转换在这里很有趣。第一种，它标志着从简单的滴落 [参见图 1（a）] 过渡到复杂的滴落，并且发生在 We = We d We = We d We=We_(d)\mathrm{We}=\mathrm{We}_{d} 可以检测到时，如前所述。第二个是从滴落到喷射的过渡，发生在 We = We j We = We j We=We_(j)\mathrm{We}=\mathrm{We}_{j} 被证明很容易检测到的时候，因为如图 2 所示的动力学的某些测量在观察到的动力学过渡到图 1© 中描述的动态的同时，会发生突然和巨大的变化。如图 2 所示，经历突然和大幅增加（减少）的度量是 （a） 无量纲极限长度 L d / R L d / R L_(d)//RL_{d} / R ;（b） 即将形成的液滴的质心与先前形成的液滴之间的距离 L s L s L_(s)L_{s} 之比 [参见图 1（b）] 和 L d L d L_(d)L_{d} ，即 L s / L d L s / L d L_(s)//L_(d)L_{s} / L_{d} ;以及©即将形成的液滴的体积 V d V d V_(d)V_{d} 与从管中垂下的液滴的体积之比， V p V p V_(p)V_{p} 即 V d / V p V d / V p V_(d)//V_(p)V_{d} / V_{p} [参见图 1©]。

图 2.用 We 计算了检测从滴落到喷射过渡的动力学的三个定量测量的变化。这里 Oh = 0.01 Oh = 0.01 Oh=0.01\mathrm{Oh}=0.01 和 G = 0.5 G = 0.5 G=0.5G=0.5 .

图 3 描述了 （We， Oh） 空间（即无 ( Q , μ ) ( Q , μ ) (Q,mu)(Q, \mu) 量纲空间）中的相位或可操作性图，它显示了通过计算和实验获得的曲线，这些曲线确定了参数空间中动力学从一个状态过渡到另一个状态的位置。给定具有性质 ρ , μ ρ , μ rho,mu\rho, \mu 的液体 ，以及 σ σ sigma\sigma 一根半径 R R RR 为 的管子，然后确定 Oh 和 G G GG ，流速 （We） 从零开始缓慢增加 [9]。随着 We 的增加，系统可能会从简单滴落过渡到复杂滴灌，此时 We = We d We = We d We=We_(d)\mathrm{We}=\mathrm{We}_{d} ，对于每个液管对，它会在曲线上标识一个点，如图 We d We d We_(d)\mathrm{We}_{d} 3 所示，该点 ( We d ( Oh , G ) , Oh ) We d ( Oh , G ) , Oh (We_(d)(Oh,G),Oh)\left(\mathrm{We}_{d}(\mathrm{Oh}, G), \mathrm{Oh}\right) 将参数空间中发生简单滴落的区域与发生复杂滴落的区域分开。此后，随着 We 的增加，系统最终可能会从滴落过渡到喷射，此时 We = We j We = We j We=We_(j)\mathrm{We}=\mathrm{We}_{j} ，它会在一条曲线上标识一个点 ( We j ( Oh , G ) , Oh We j ( Oh , G ) , Oh (We_(j)(Oh,G),Oh:}\left(\mathrm{We}_{j}(\mathrm{Oh}, G), \mathrm{Oh}\right. ），如图 We j We j We_(j)\mathrm{We}_{j} 3 所示，该曲线将发生喷射的区域与发生滴落的区域分开。图 3 显示，计算结果和实验结果在当 Oh ≥ 0.1 Oh ≥ 0.1 Oh >= 0.1\mathrm{Oh} \geq 0.1 Oh 小至 0.02 时，计算 We d We d We_(d)\mathrm{We}_{d} 的曲线与实验曲线非常吻合。对于较小的 Oh 值，计算的 We j We j We_(j)\mathrm{We}_{j} 曲线在定量上不准确，这与参考文献 [8] 一致，其中表明，随着 We 的增加，低 Oh 液体的一维模型变得不那么准确。未显示 的计算 Oh < 0.02 Oh < 0.02 Oh < 0.02\mathrm{Oh}<0.02 结果，因为 NS 方程的解和低 Oh 液滴 [ 8 , 16 , 17 ] [ 8 , 16 , 17 ] [8,16,17][8,16,17] 的实验表明，液滴形状在夹断之前被翻转，并且逆流的影响从

图 3.显示计算和实验获得的曲线的相图，分别由 （Comp） 和 （Exp） 表示，用于标识 We 的值，其中动力学从简单滴落过渡到复杂滴落， We d We d We_(d)\mathrm{We}_{d} 从滴落过渡到喷射 。 We j We j We_(j)\mathrm{We}_{j} 这里 0.31 ≤ G ≤ 0.97 0.31 ≤ G ≤ 0.97 0.31 <= G <= 0.970.31 \leq G \leq 0.97 .

在管内感觉到液滴的挤压颈部，这两种情况都无法用 1D 模型来解释。

由于粘度的变化通常伴随着表面张力和密度的变化，并且因为我们可用的管材半径不能连续变化，因此在图 3 中，理想情况下应保持恒定，而 Oh 变化，变化系数为 3，而 Oh 变化系数为 1000。图 4 显示了 （We， Oh） 空间中的计算相图，其中 G = 0.5 G = 0.5 G=0.5G=0.5 。图 4 和图 3 显示，当 Oh 超过临界值 Oh c Oh c Oh_(c)\mathrm{Oh}_{c} 时，漏水的水龙头直接从简单的滴水转变为喷射。 We ≥ We j We ≥ We j We >= We_(j)\mathrm{We} \geq \mathrm{We}_{j} 因此，与低粘度液体相比，高粘度液体不会表现出复杂的滴落。

图 4 显示，当 G = 0.5 G = 0.5 G=0.5G=0.5 时，漏水的水龙头在 Oh = 0.1 Oh = 0.1 Oh=0.1\mathrm{Oh}=0.1 for 时 We d ≈ We d ≈ We_(d)~~\mathrm{We}_{d} \approx 0.12 < We < We j ≈ 0.26 0.12 < We < We j ≈ 0.26 0.12 < We < We_(j)~~0.260.12<\mathrm{We}<\mathrm{We}_{j} \approx 0.26 表现出复杂的滴落。参考文献 [9] 报道了对这组参数的水龙头的详细研究，其中表明，随着 We 的变化，该系统表现出周期 2、周期 4、周期 1 和滞后响应。图 4 显示，Oh 或 μ μ mu\mu 等效地保持其他所有内容不变，必须增加 5 倍以上，系统才会出现复杂的滴落。此外，Ambravaneswaran等[9]以及Yildirim和Basaran [20]已经表明，Oh 或 μ μ mu\mu 必须减少大致相同的量，系统才会表现出混沌滴落。

图 5 显示了当 Oh 值为 2 时 G = 0.5 G = 0.5 G=0.5G=0.5 动态的计算快照。在图 5（a） 和 5（b） 中，Oh = 0.01 = 0.01 =0.01=0.01 和在这个 Oh 值下从滴落到喷射的转变发生在 We = We j = 0.8 We = We j = 0.8 We=We_(j)=0.8\mathrm{We}=\mathrm{We}_{j}=0.8 .对于图 5© 和 5（d） 所示的情况， Oh = 0.5 Oh = 0.5 Oh=0.5\mathrm{Oh}=0.5 这是图 4 中三相点处的 Ohnesorge 数

图 4.在 （We， Oh） 空间中计算的相图 G = 0.5 G = 0.5 G=0.5G=0.5 当 。曲线 We d We d We_(d)\mathrm{We}_{d} 和 We j We j We_(j)\mathrm{We}_{j} 的含义与图 3 中的相同。当 Oh > Oh c Oh > Oh c Oh > Oh_(c)\mathrm{Oh}>\mathrm{Oh}_{c} 时，漏水的水龙头直接从简单的滴水转变为喷射。